Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Число Бетти



План:

    Введение
  • 1 Определение
  • 2 Первое число Бетти в теории графов
  • 3 Свойства
  • 4 Примеры
  • Литература

Введение

В алгебраической топологии числа Бетти применяются, чтобы различать топологические пространства. Каждому пространству X соответствует некая последовательность {bk(X)} чисел Бетти. Первое число Бетти b1(X) интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности.

Число Бетти является натуральным числом или +∞. Для разумно устроенного конечномерного пространства (например, компактного многообразия или конечного симплициального комплекса), все числа Бетти конечны и, начиная с некоторого номера, равны нулю.

Термин «числа Бетти» был введен Анри Пуанкаре, который назвал их в честь итальянского математика Энрико Бетти.


1. Определение

  • k-е число Бетти bk(X) = rank Hk(X),

где Hk(X) — k-я группа гомологий пространства X, которая является абелевой, rank обозначает ранг этой группы.

Эквивалентно, можно определить его как размерность векторного пространства Hk(XQ), поскольку группа гомологий в этом случае является векторным пространством над Q:

  • bk(X) = dim Hk(XQ)

Эквивалентность этих определений в простых случаях показывает теорема об универсальных коэффициентах.

В более общих случаях для данного поля F можно определить bk(XF), k-е число Бетти с коэффициентами в F, как размерность векторного пространства Hk(XF).


2. Первое число Бетти в теории графов

В топологической теории графов первое число Бетти графа G с n вершинами, m ребрами и k компонентами связности равно

b_1(G) = m - n + k.\

Это может быть доказано непосредственно математической индукцией по числу ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов либо уменьшает число компонент связности.

Первое число Бетти графа совпадает с цикломатическим числом этого графа.


3. Свойства

  • Для симплициального комплекса K группы гомологий Hk(K) являются конечно-порожденными и, следовательно, имеют конечный ранг. Если k превышает максимальную размерность симплексов K, то соответствующие группы гомологий нулевые. Для конечного комплекса K его эйлерова характеристика:
    \chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K)
  • Функция Пуанкаре пространства X — это производящая функция последовательности чисел Бетти пространства X:
    P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots .
Для разумно устроенных пространств функция Пуанкаре является многочленом. Согласно теореме Кюннета для любых двух пространств X и Y:
P_{X\times Y}=P_X P_Y , \,
  • Если X — замкнутое и ориентируемое n-мерное многообразие, то, согласно двойственности Пуанкаре, для любого k:
    bk(X) = bnk(X).

4. Примеры

  1. Последовательность чисел Бетти для окружности S1: 1, 1, 0, 0, 0, …;
    многочлен Пуанкаре:  1 + x.
  2. Последовательность чисел Бетти для двумерного тора T2: 1, 2, 1, 0, 0, 0, …;
    многочлен Пуанкаре: 1 + 2x + x2 = (1 + x)2.
  3. Последовательность чисел Бетти для трехмерного тора T3: 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … .
    многочлен Пуанкаре: 1 + 3x + 3x2 + x3 = (1 + x)3.

Аналогично, для n-мерного тора, многочленом Пуанкаре: (1 + x)n, то есть числа Бетти являются биномиальными коэффициентами.

Бесконечномерные пространства могут иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. К примеру, бесконечномерное комплексное проективное пространство имеет последовательность чисел Бетти 1, 0, 1, 0, 1, … периодичную с периодом 2. В этом случае функция Пуанкаре не является многочленом, представляя собой бесконечный ряд 1+x^2+x^4+\dotsb, который является рациональной функцией:

\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3+\dotsb.

В общем случае, ряд Пуанкаре выражается рациональной функцией тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти является линейной рекуррентной.


Литература

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989
скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 15:21:33

Похожие рефераты: Бетти (имя), Бетти, Бетти Буп, Бетти Уго, Уго Бетти, Атомная Бетти, Бетти Грейбл, Энрико Бетти, Фария Бетти.

Категории: Алгебраическая топология.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.