Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Симплекс



План:

    Введение
  • 1 Определение
  • 2 Связанные определения
    • 2.1 Стандартный симплекс
  • 3 Свойства
  • 4 Соотношения в правильном симплексе
  • Литература

Введение

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.


1. Определение

Симплекс есть выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости n-мерного Евклидова пространства. Эти точки называются вершинами симплекса.

2. Связанные определения

  • Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

2.1. Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс это подмножество \mathbb{R}^{n+1}, определяемое как:

\Delta^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}

Его вершинами являются точки:

e0=(1, 0, … 0)
e1=(0, 1, … 0)
en=(0, 0, … 1)

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин (v_0, v_1,\dots v_n):

(t_0,\dots t_n) \to \sum_i t_i v_i

Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.


3. Свойства

  • Число k–мерных граней в n–симплексо равно {n+1\choose k+1}, где {n+1\choose k+1} обозначает биномиальный коэффициент
  • Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:
    V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)
    • Определитель Кэли-Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
      V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\
1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\
1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}
где dij = | vivj |  — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула — обобщение формулы Герона для треугольников.
  • Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен \frac{\sqrt{n+1}}{n!\, 2^{n/2}}
  • Радиус R описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
    (R{\cdot}V)^2=T,
где V-объем симплекса и
T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix}
0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\
 d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\
 d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\
\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots&  \\
 d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}
  • Формула радиуса A описаного M-мерного конуса вокруг вершины симплекса
\ sin A =2R;

R-абсолютный радиус вершины(вычисляется также как и обычный с заменной d_{ij}=\sin\frac {a_{ij}}{2}),где aij - одномерные углы вершины симплекса.(См.также:Теорема синусов)


4. Соотношения в правильном симплексе

В правильном n-мерном симплексе со стороной a пусть

  • Hn обозначает высоту,
  • Vn обозначает объём,
  • Rn обозначает радиус описанной сферы,
  • rn обозначает радиус вписанной сферы.
  • αn обозначает двугранный угол,

Тогда

  • H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}
  • V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}=  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}
  • ~R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}
  • ~r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}
  • ~\cos \alpha = \frac{1}{n}
  • ~R_n = H_n \frac{n}{n-1}
  • ~a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2
  • ~V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n
  • ~r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2

Литература

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.
скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 14.07.11 15:08:48

Похожие рефераты: Симплекс-метод, Симплекс (значения), Шеффилд-Симплекс, Стандартный ряд, Стандартный ввод, Стандартный потенциал, Стандартный словарь Forth, Стандартный объектив.

Категории: Геометрические фигуры, Геометрические тела, Многогранники, Алгебраическая топология, Многомерная евклидова геометрия.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.