Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Решение Керра — Ньюмена



Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.

Форма решения и его свойства

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:

ds^2 = -\left(1-{2\,Mr\over\Sigma}\right)\,dt^2-4Mra{\sin^2\theta\over\Sigma}\,dt\,d\varphi\,+
+\left(r^2+a^2+{2\,Mra^2\sin^2\theta\over\Sigma}\right)\sin^2\theta\,{d\varphi^2}+{\Sigma\over\Delta}\,dr^2+{\Sigma\,{d\theta^2}},

где  \Sigma \equiv r^2 + a^2 \cos^2\theta; \Delta \equiv r^2 - 2 Mr + a^2 + Q^2 и a \equiv J/M.

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: r_+ = M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2}, и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

a^2 + Q^2 \leqslant M^2 — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ)[1], в которой метрика имеет вид

gμν = ημν + 2Hkμkν,

где ημν является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами x = xμ(x) = (t,x,y,z).

В этой форме kμ(x) является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку kμkμ = gμνkμkν = 0. Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле kμ(x) является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть ημνkμkν = 0 .

Функция H имеет вид

 H =\frac {Mr - |Q|^2/2}
{r^2+ a^2 \cos^2\theta} ,

где r — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

 x+iy = (r + ia) e^{i\phi} \sin \theta , \  z=r\cos \theta .

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора kα определяются из дифференциальной формы

kαdxα = drdtasin2θdφ

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата φ очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля kμ(x), которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля kμ определяются формой

  k_\mu dx^\mu = - dt +\frac z r dz + \frac r {r^2 +a^2} (xdx+ydy) - \frac a {r^2 +a^2} (xdy-ydx)  .

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

  u=(z-t)/\sqrt {2},\quad v=(z+t)/\sqrt {2},\quad  \zeta=(x+iy)/\sqrt {2},\quad \bar\zeta=(x-iy)/\sqrt {2} ,

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

 k_\mu^{(\pm)} dx^\mu = P^{-1}(du +\bar Y^\pm d\zeta + Y^\pm d\bar\zeta - Y^\pm \bar Y^{(\pm)} dv)  .

Это выражение определяется комплексной функцией Y(x), которая имеет два решения   Y^\pm (x) , что даёт для векторного поля kμ(x) две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты r.

В координатах Керра θ,φ функция Y(x) имеет вид

  Y(x) = e^{i\phi} \tan \frac \theta 2 .

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами θ,φ на комплексную плоскость Y , однако зависимость   x \to Y(x) очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция P для покоящегося решения имеет вид

 P = \frac 1 {\sqrt 2} (1+ Y \bar Y ) .

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

 A^\mu = \Re e \frac {Q r}{r^2 + a^2 \cos ^2 \theta} k^\mu .

Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям r = 0 и одновременно θ = 0. Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, r < 0, на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).


Литература

Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. Чандрасекар. Математическая теория черных дыр.

Примечания

  1. Debney G. C., Kerr R. P. and Schild A. Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations - adsabs.harvard.edu/abs/1969JMP....10.1842D  (англ.) // Journal of Mathematical Physics. — 1969. — Т. 10. — С. 1842—1854. — DOI:10.1063/1.1664769 - dx.doi.org/10.1063/1.1664769


скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 13.07.11 07:23:56

Похожие рефераты: Решение Керра, Закон Керра, Эффект Керра, Ячейка Керра, Решение проблем, Автомодельное решение, Частное решение, Решение Шварцшильда, Окончательное решение.

Категории: Решения уравнений Эйнштейна.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.