Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Полином Джонса



План:

    Введение
  • 1 Определение через скобку Кауффмана
  • 2 Определение через представления группы кос
  • 3 Определение через скейн-соотношения
  • 4 Связь с теорией Черна-Саймонса

Введение

В теории узлов, области математики, полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t1/2 с целыми коэффициентами.


1. Определение через скобку Кауффмана

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle, где w(L) — число закрученности диаграммы L, а \langle L \rangle — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков (L + на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, (L на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда X(L) будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы L. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на -A^{\pm 3}, что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности w(L).

Теперь, выполняя подстановку A = t − 1 / 4 в X(L), мы получаем искомый многочлен Джонса V(L). Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной t1 / 2.


С помощью этого определения несложно проверить, что зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t-1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром.


2. Определение через представления группы кос

3. Определение через скейн-соотношения

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующими скейн-соотношениями:


 (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}). \,


Здесь L + , L , и L0 это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Skein (HOMFLY).svg

4. Связь с теорией Черна-Саймонса

скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 20.07.11 13:45:48

Похожие рефераты: Полином, Полином Лагранжа, Полином Бернштейна, Полином Лежандра, Полином Эрмита, Полином Жегалкина, Интерполяционный полином Эрмита, Полином (гидроакустическая станция), Индекс Доу-Джонса.

Категории: Топология, Многочлены, Теория узлов.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.