Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Матрицы Паули



План:

    Введение
  • 1 Свойства
    • 1.1 Основные соотношения
    • 1.2 Связь с алгебрами Ли
  • 2 Применение в физике
  • Примечания
    Литература

Введение

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид


\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},

\sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},

\sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

Вместо σ123 иногда используют обозначение σxyz.

Часто также употребляют матрицу


\sigma_0 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix},

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей σ0 образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).


1. Свойства

1.1. Основные соотношения

  • Эрмитовость: \sigma_i^\dagger = \sigma_i;
  • Равенство нулю следа: \operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0, \quad \ i = 1, 2, 3
  • \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 =  \sigma_0= I, где I = σ0 — единичная матрица размерности 2×2.
  • Определитель матриц Паули равен −1.
  • Алгебра, порождённая элементами σ0, − iσx, − iσy, − iσz, изоморфна алгебре кватернионов \lang 1,i,j,k\rang.

Правила умножения матриц Паули

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\! для i\ne j.\,\!

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad  i,j,k = 1, 2, 3,

где δij — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0.
\end{matrix}

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.


1.2. Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц i\sigma_k\! совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц i\sigma_k\;. Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; этим объясняется важность матриц Паули для физики.


2. Применение в физике

В квантовой механике матрицы i\sigma_j/2\! представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как

(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}

(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}

~(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).


Примечания

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2

Литература

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5


скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 14.07.11 14:20:59

Похожие рефераты: -матрицы, Разложение матрицы, Подобные матрицы, Матрицы Дирака, Определитель матрицы, След матрицы, Лямбда-матрицы, Ранг матрицы, Паули.

Категории: Квантовая механика, Группы Ли, Типы матриц.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.