Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Геодезическая



План:

    Введение
  • 1 Дифференциальная геометрия
    • 1.1 Многообразия с аффинной связностью
    • 1.2 Римановы и псевдоримановы многообразия
  • 2 Метрическая геометрия
  • 3 Использование в физике

Введение

Геодези́ческая (Геодези́ческая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» в искривлённых пространствах. Конкретное определение геодезической зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодези́ческие ли́нии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, на сфере — большие круги.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике.


1. Дифференциальная геометрия

1.1. Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью \nabla геодезическая — это кривая γ(t), удовлетворяющая уравнению

 \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0.

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{~\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0\ , где xμ(t) — координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.


1.2. Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии

E(\gamma)=\int\limits_\gamma\limits\! g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt.

Здесь γ(t) — кривая в пространстве, g — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия).

Это условие эквивалентно тому, что

 \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma = 0

вдоль всей кривой, где \nabla обозначает связность Леви-Чивита.


2. Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Для римановых многообразий, это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.


3. Использование в физике

Геодези́ческие ли́нии активно используются в релятивистской физике. Так, например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.

скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 11.07.11 05:26:26

Похожие рефераты: Геодезическая прецессия, Геодезическая кривизна, Геодезическая высота, Опорная геодезическая сеть, Геодезическая дуга Струве, Сибирская государственная геодезическая академия, Линия Омэ, Линия A (Рим).

Категории: Риманова (и псевдориманова) геометрия.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.