Вероятность

План:

1 Вероятность в математике

Примечания

Литература

Введение

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех равновозможных случаев^[].

1. Вероятность в математике

В современном математическом подходе классическая (т. е. не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова. Вероятностью называется мера P, которая задаётся на множестве X, называемом вероятностным пространством. Эта мера должна обладать следующими свойствами.

$\mathbf P(X) = 1, \; \mathbf P(\varnothing) = 0$ .

$\forall A \subset X \colon \mathbf P(A) \geqslant 0$ .

Мера P обладает свойством счётной аддитивности (сигма-аддитивности): если множества A₁, A₂, …, A_n, … не пересекаются, то $\mathbf P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \cup \ldots) = \mathbf P(A_1) + \mathbf P(A_2) + \ldots +\mathbf P(A_n)+...$

Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности: если множества A₁ и A₂ не пересекаются, то $\mathbf{P}(A_1 \cup A_2) = \mathbf{P}(A_1)+\mathbf{P}(A_2)$ . Для доказательства нужно положить все A₃, A₄, … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X. Достаточно определить её на сигма-алгебре Ω, состоящей из некоторых подмножеств множества X. При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X, то есть как элементы сигма-алгебры Ω.

Примечания

Литература

Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б.В.Гнеденко. М.: Мир. 1970 - enlightment2005.narod.ru/arc/pascal_ar.pdf
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
Купцов В.И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.

скачать
Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 23:32:30

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.