Опубликовать

Загрузка...
Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Пи (число)



План:

    Введение
  • 1 Свойства
    • 1.1 Трансцендентность и иррациональность
    • 1.2 Соотношения
  • 2 История
    • 2.1 Геометрический период
    • 2.2 Классический период
    • 2.3 Эра компьютерных вычислений
  • 3 Рациональные приближения
  • 4 Нерешённые проблемы
  • 5 Метод иглы Бюффона
  • 6 Дополнительные факты
  • 7 В культуре
  • Примечания
    Литература

Введение

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи»
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
...

Первые 1000 знаков после запятой числа π.[1]

\pi~ (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.[2] Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число.


1. Свойства

1.1. Трансцендентность и иррациональность

  • π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761[3] году путём разложения числа \frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.
  • π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транcцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.[4]
    • Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
  • В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа eπ.[5] В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа π и e^{\pi\sqrt n} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел π + eπeπ и e^{\pi\sqrt n}.[6][7]

1.2. Соотношения

Известно много формул числа π:

  • Франсуа Виет:
\frac2\pi=
\frac{\sqrt{2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots
  • Формула Валлиса:
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
  • Ряд Лейбница:
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
  • Тождество Эйлера:
e^{i \pi} + 1 = 0\;
  • Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
  • Интегральный синус:
\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi
  • Выражение через полилогарифм:[8]
\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}

2. История

Символ константы

Впервые обозначением этого числа греческой буквой \pi~ воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.


2.1. Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведический текст «Шатапатха-брахмана» даёт π как 339/108 ≈ 3,139. По-видимому, в Танахе, в третьей книге Царств, предполагается, что π = 3, что является гораздо более худшей оценкой, чем имевшиеся на момент написания (600 год до н. э.).

Archimedes pi.svg
Алгоритм Лю Хуэя для вычисления π

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку 3+\frac{10}{71} < \pi <3+\frac{1}{7}.

Чжан Хэн во 2 веке уточнил значение числа π, предложив два его эквивалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2) \sqrt{10} ≈ 3,1622

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Брахмагупта в 7 веке предложил в качестве приближения \sqrt{10}.

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления π с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу:

\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159.

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления π и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что π ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < π < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа π в течение последующих 900 лет.


2.2. Классический период

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр π. Дальнейшие крупные достижения в изучении π связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить π с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:

{\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots

Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к π очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)

Мадхава смог вычислить π как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа π, из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета (англ. Viète's formula)

\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots,

найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала формула Валлиса:

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots,

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (англ. John Machin)

\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}

Разложив арктангенс в ряд Тейлора

\mathrm{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots,

можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина (англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления π в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе (англ. Johann Dase), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр π в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π.

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа π, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π2. В 1735 году была установлена связь между простыми числами и π, когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему (англ. Basel problem) — проблему нахождения точного значения

\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots,

которое составляет \frac{\pi^2}{6}. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что π может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706 года первая ввела в использование греческую букву π для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:

Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к \left(\frac{16}{5}-\frac{4}{239}\right)-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3}\right)+\cdots = 3{,}14159 \cdots = \pi

.

2.3. Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр π, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для π, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}},

братьями Чудновскими (англ. Chudnovsky brothers) в 1987 году, найдена похожая на неё:

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}},

который вычисляет по 14 цифр за ход. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении π в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих π на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент (англ. Richard P. Brent) и Юджин Саламин (англ. Eugene Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков.[9] Алгоритм состоит из установки начальных значений

a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1

и итераций:

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}
t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n

пока an и bn не станут достаточно близки. Тогда оценка π даётся формулой

\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein).[10] При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления π вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа (англ. Bailey–Borwein–Plouffe formula), открытая в 1997 году Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована[11]. Эта формула,

\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа π без вычисления предыдущих.[11] С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа π, который оказался нулём.[12]

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул.[13] Пусть q = eπ, тогда

\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)
\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)

и другие вида

\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)

где q = eπ, k — нечётное число, и abc — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)

для рационального p у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.[14]

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.[15]

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.[16][17]


3. Рациональные приближения

  • \frac{22}{7} — Архимед,


  • \frac{377}{120} — дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V веке н. э.,


  • \frac{355}{113} — приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному Цзу Чунчжи.

4. Нерешённые проблемы

  • Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.
  • Неизвестно, являются ли числа \pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \pi / e, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi, e^{\pi^2} рациональными, алгебраическими иррациональными или трансцендентными.[6][18][19][20][21][22]
  • До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

5. Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к \frac2\pi при увеличении числа бросков до бесконечности.[23] Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.[24]


6. Дополнительные факты

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле
  • Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π. Считается[25], что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
  • Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.
  • Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки.[26][27] В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой,[28] однако проверить это официально не удалось.[29]
  • В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.: en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2.[30] Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
  • «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.[31]
  • В настоящее время вычислено 5 триллионов знаков после запятой.[17]

7. В культуре

  • Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
  • В произведения Сергея Лукьяненко Спектр упоминаются миры где Пи равно 4.

Примечания

  1. PI - www.math.com/tables/constants/pi.htm
  2. Это определение пригодно только для евклидовой геометрии. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в геометрии Лобачевского это отношение меньше, чем \pi~.
  3. Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, стр. 265–322.
  4. Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 году.
  5. Weisstein, Eric W. Постоянная Гельфонда - mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. 1 2 Weisstein, Eric W. Иррациональное число - mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. Модулярные функции и вопросы трансцендентности - www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=158&volume=187&year=1996&issue=9&fpage=65&what=fullt&option_lang=eng
  8. Weisstein, Eric W. Pi Squared - mathworld.wolfram.com/PiSquared.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  9. Brent, Richard (1975), Traub, J F, ed., "Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation - wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html", Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176, <http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html - wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html>   (англ.)
  10. Jonathan M Borwein. Pi: A Source Book. — Springer, 2004. — ISBN 0387205713 (англ.)
  11. 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants - crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf // Mathematics of Computation. — 1997. — В. 218. — Т. 66. — С. 903—913. (англ.)
  12. Fabrice Bellard. A new formula to compute the nth binary digit of pi - bellard.org/pi/pi_bin/pi_bin.html  (англ.).
  13. Simon Plouffe. Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2) - www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf  (англ.).
  14. Установлен новый рекорд точности вычисления числа π - science.compulenta.ru/451031/
  15. Pi Computation Record - bellard.org/pi/pi2700e9/
  16. Число «Пи» рассчитано с рекордной точностью - science.compulenta.ru/552828/
  17. 1 2 5 Trillion Digits of Pi - New World Record - www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html (англ.)
  18. Weisstein, Eric W. Pi - mathworld.wolfram.com/Pi.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  19. en:Irrational number#Open questions
  20. Some unsolved problems in number theory - www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf
  21. Weisstein, Eric W. Трансцендентное число - mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  22. An introduction to irrationality and transcendence methods - www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf
  23. Обман или заблуждение? - kvant.mirror1.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm Квант №5 1983 год
  24. Г. А. Гальперин. Биллиардная динамическая система для числа пи - nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=node2.html.
  25. Статья в Los Angeles Times «Желаете кусочек π»? (название обыгрывает сходство в написании числа π и слова pie (англ. пирог)) - latimesblogs.latimes.com/thehomeroom/2008/03/a-slice-of-pi-p.html (англ.).
  26. Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi - www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm
  27. Interview with Mr. Chao Lu - www.pi-world-ranking-list.com/lists/details/luchaointerview.html
  28. How can anyone remember 100,000 numbers? - search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html — The Japan Times, 17.12.2006.
  29. Pi World Ranking List - www.pi-world-ranking-list.com/news/index.html
  30. The Indiana Pi Bill, 1897 - www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second Level pages/indiana_pi_bill.htm  (англ.)
  31. В. И. Арнольд любит приводить этот факт, см. например книгу Что такое математика - www.mccme.ru/edu/viarn/whatis.ps (ps), стр. 9.

Литература

  • Жуков А. В. О числе π - www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.18.pdf М.: МЦМНО, 2002. 32 с. ISBN 5-94057-030-5
  • Перельман Я. И. Квадратура круга. Л.: Дом занимательной науки, 1941. Текст в формате djv/zip - publ.lib.ru/ARCHIVES/P/PEREL'MAN_Yakov_Isidorovich/Kvadratura_kruga.(1941).[djv].zip.
скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 09:27:50

Похожие рефераты: 91 (число), 107 (число), 109 (число), 111 (число), 112 (число), 113 (число), 114 (число), 115 (число), 116 (число), 117 (число).

Категории: Пи, Числа с собственными именами.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

Рейтинг@Mail.ru