Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Теорема Крылова — Боголюбова



План:

    Введение
  • 1 Формулировка теоремы
    • 1.1 Инвариантные меры для отображений
  • 2 Инвариантные меры для марковских процессов
  • 3 Доказательство для динамических систем
  • 4 Обобщения

Введение

В теории динамических систем под теоремами Крылова — Боголюбова понимаются две теоремы, утверждающие существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Теоремы доказаны математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в [3]).


1. Формулировка теоремы

1.1. Инвариантные меры для отображений

Теорема Крылова — Боголюбова для динамических систем утверждает, что

Пусть \displaystyle F — непрерывное отображение метрического компакта \displaystyle X в себя.
Тогда на \displaystyle X существует \displaystyle F-инвариантная мера \displaystyle \mu.

Стоит отметить, что условие \displaystyle F-инвариантности, \displaystyle F_*\mu=\mu, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,


\forall A\in \mathcal{B}(X) \quad \mu(F^{-1}(A))=\mu(A);

при этом в случае необратимого отображения \displaystyle F мера \displaystyle F(A) не обязана равняться мере \displaystyle A. Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности x\mapsto 2x \mod 1, однако мера дуги \left[0, \frac13\right] не равна мере её образа, дуги \left[0, \frac23\right].


2. Инвариантные меры для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, т. е.

\Pr [ X_{t} \in A | X_{0} = x ] = P_{t} (x, A).
  • Теорема Крылова — Боголюбова утверждает, что если существует x\in X, для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), т. е. такая вероятностная мера μ на X, что
(P_{t})_{\ast} (\mu) = \mu, \quad\forall t > 0.

3. Доказательство для динамических систем

Доказательство теоремы опирается на процедуру Крылова-Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера \displaystyle \mu_0, и рассматривается последовательность её временных средних:


\bar{\mu}_n=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F_*^j(\mu_0).

Временные средние являются всё более и более \displaystyle F-инвариантными:


F_* \bar{\mu}_n = \bar{\mu}_n + \frac{1}{n}(F_*^n(\mu_0)-\mu_0).

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения \displaystyle F. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте \displaystyle F компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности \bar{\mu}_n найдётся — что и завершает доказательство.

В случае, если в качестве меры \displaystyle \mu_0 берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности \displaystyle \bar{\mu}_n соответствует существованию меры Синая-Рюэлля-Боуэна.


4. Обобщения

Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 12.07.11 14:42:44

Похожие рефераты: Теорема Боголюбова, Теорема Боголюбова Парасюка, Теорема Фока Крылова, Теорема Фока-Крылова, Теорема Боголюбова об острие клина, Уравнение Боголюбова, Крылова, Условие микропричинности Боголюбова.

Категории: Теоремы, Динамические системы, Случайные процессы.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.