Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Подпространство Крылова



План:

    Введение
  • 1 Размерность подпространства Крылова
    • 1.1 Свойства подпространства Крылова
  • 2 Методы Крыловского типа
  • Литература
    Примечания

Введение

В линейной алгебре, подпростра́нством Крыло́ва размерности ~ m порождённым вектором ~v \in \mathbb{C}^n и матрицей ~A\in \mathbb{C}^{n \times n} называется линейное пространство

~ \mathcal{K}_m (v,A) = span \mathcal {f} v, Av, A^2 v, ..., A^{m-1} v \mathcal {g} .

Подпространство Крылова является подпространством векторного пространства над полем комплексных чисел: ~ \mathcal{K}_m \subset \mathbb{C}^n.

Такие пространства были названы в честь российского прикладного математика и военно-морского инженера А. Н. Крылова, который опубликовал работу по этой проблеме в 1931 году.


1. Размерность подпространства Крылова

В силу конечномерности пространства ~ \mathbb{C}^{n} найдётся такое p\;(0\le p \le n), что векторы ~ v,\; Av,\; A^2 v,\; ...,\; A^{p-1} v линейно-независимы, а ~A^p v есть линейная комбинация этих векторов с коэффициентами ~ \gamma_1,\;\gamma_2,\;...,\;\gamma_p:

~ A^p v=- \gamma_1 A^{p-1} v - \gamma_2 A^{p-2} v-...- \gamma_p v

Составим полином \varphi (\lambda)=\lambda^p + \gamma_1 \lambda^{p-1} + \gamma_2 \lambda^{p-2} +...+\gamma_p и получим:

~ \varphi (A)v=0.

Полином ~ \varphi (A) степени ~p является минимальным многочленом вектора v относительно матрицы A.


1.1. Свойства подпространства Крылова

1. \mathcal{K}_p инвариантно относительно ~ A и \mathcal{K}_m=\mathcal{K}_p для любого m \ge p.
2. dim(\mathcal{K}_m)=min \mathcal{f} m,p \mathcal{g}.

2. Методы Крыловского типа

Алгоритмы, использующие подпространства Крылова, традиционно называют методами Крыловского типа. Они среди самых успешных методов, в настоящее время доступных по числовой линейной алгебре.

Современные итерационные методы поиска собственных значений и методы решения СЛАУ, ориентированные на матрицы больших размерностей, избегают матрично-матричных операций, и чаще умножают матрицу на векторы и работают с получившимися векторами:

~ \mathcal{K}_m (v,A) = span \mathcal {f} v_1, v_2, v_3, ..., v_m \mathcal {g} ,

где

~v_1=v,\; v_2=Av_1,\; v_3=Av_2,\;...,\;v_m=Av_{m-1}.

Самые известные методы подпространства Крылова — Метод Арнольди, Метод Ланцоша, Метод сопряжённых градиентов, GMRES, BiCG, BiCGSTAB, QMR, TFQMR и MinRES.


Литература

  • Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем.. — 1931. — С. 26.
  • Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — 2nd edition. — SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. — С. 477. — ISBN 0898715342
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2е издание. — М.: Наука, 1966. — С. 576. — ISBN 5-9221-0524-8
  • Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности.. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — С. 70.

Примечания

скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 16.07.11 00:58:05

Похожие рефераты: Подпространство, Корневое подпространство, Собственное подпространство, Топологическое подпространство, Инвариантное подпространство, Аффинное подпространство, Линейное подпространство, Векторное подпространство, Крылова.

Категории: Численные методы.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.