Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Логарифмический потенциал



План:

    Введение
  • 1 Физический смысл
  • 2 Потенциал площади
  • 3 Логарифмический потенциал простого слоя
  • 4 Логарифмический потенциал двойного слоя
  • Литература

Введение

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ2 как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

V = − ln | z | * ρ.

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.


1. Физический смысл

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней.


2. Потенциал площади


V(z)=\iint\limits_G\rho(\zeta)\ln\frac{1}{|z-\zeta|}d\xi\,d\eta,\qquad \zeta=\xi+i\eta.

Если \rho(z)\in C(\overline G), то сам потенциал V(z)\in C^1(\R^2) гармоничен в \R^2\setminus G и


V(z)=\ln\frac{1}{|z|}\iint\limits_G\rho(\zeta)d\xi\,d\eta+O\left ( \frac{1}{|z|}\right ),\ |z|\rightarrow\infty.
  • Здесь, как это часто делается, подразумевается представление \R^2 как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные \zeta,\ z просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в \R^2, а если ρ также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

3. Логарифмический потенциал простого слоя


V^{(0)}(z)=\ln\frac{1}{|z|}*\mu\delta_S=\int\limits_S\mu(\zeta)\ln\frac{1}{|z-\zeta|}dS_\zeta.

Если \mu(z)\in C(S), то сам потенциал V^{(0)}(z)\in C(\R^2) гармоничен в \R^2\setminus S и


V^{(0)}(z)=\ln\frac{1}{|z|}\int\limits_S\mu(\zeta)dS_\zeta+O\left ( \frac{1}{|z|}\right ),\ |z|\rightarrow\infty.

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:


\left ( \frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\right )\Bigg |_+= -\pi\mu(z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf{n}},

\left ( \frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\right )\Bigg |_-= \pi\mu(z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf{n}}.

4. Логарифмический потенциал двойного слоя


V^{(1)}(z)=-\ln\frac{1}{|z|}*\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}}(\nu\delta_S) = \int\limits_S\nu(\zeta)\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}}\left ( \ln\frac{1}{|z-\zeta|}\right ) dS_\zeta = \int\limits_S\nu(\zeta)\frac{\cos\varphi}{|z-\zeta|}dS_\zeta,

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если \nu(z)\in C(S), то сам потенциал V(1)(z) гармоничен в \R^2\setminus G и


V^{(1)}(z)=O\left ( \frac{1}{|z|}\right ),\ |z|\rightarrow\infty.

Если S — кривая Ляпунова, то:


V^{(1)}\in C(\overline{G})\cap C(S) \cap C(\R^2\setminus G)

и


V^{(1)}_+(z)=\pi\nu(z) + V^{(1)}(z),

V^{(1)}_-(z)=-\pi\nu(z) + V^{(1)}(z).

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен


V^{(1)}=\begin{cases}
-2\pi\nu,\ z\in G, \\
-\pi\nu,\ z\in S, \\
0,\ z\in \R^2\setminus\overline{G}.
\end{cases}

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 20.07.11 22:07:02

Похожие рефераты: Логарифмический усилитель, Логарифмический масштаб, Логарифмический декремент колебаний, Логарифмический признак сходимости, Логарифмический регулятор громкости, 4-потенциал, Потенциал, Потенциал Гальвани, Электрохимический потенциал.

Категории: Теория потенциала.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.