Загрузка...
скачать
Реферат на тему:

Верзьера Аньези



План:

    Введение
  • 1 Уравнения
  • 2 Свойства
  • 3 Построение
  • Литература

Введение

Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение \textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}, где OA — диаметр окружности, BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.


1. Уравнения

O = (0,0), A = (0,a)

  • В прямоугольной системе координат:
y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}
Вывод  

Координаты точки M, лежащей на верзьере — это x = BM, y = OB. OA = a и по определению строим пропорцию

\textstyle\frac{x}{BC}=\frac{a}{y}

Отсюда

\textstyle BC=\frac{xy}{a}

С другой стороны BC может быть найден из уравнения окружности:

\textstyle \left (y-\frac{a}{2}\right )^2+x^2=\frac{a^2}{4}

Нам известен y = OB, значит выражаем x2:

\textstyle x^2=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2

Приравниваем оба выражения для BC:

\textstyle\frac{x^2 y^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2

Возводим в квадрат, переносим и выносим y2 за скобки:

\textstyle\left (\frac{x^2}{a^2}+1\right )y^2=ay

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+x^2}
  • Параметрическое уравнение:
\begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases}, где \varphi — угол между OA и OC
Вывод  

Координаты точки M однозначно определяются углом \varphi между OB и OC. Если OB = y, а BM = x, то по определению верзьеры можно составить пропорцию

\textstyle\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}

OA по предположению равен a. Из треугольника OBC: BC=y\,\operatorname{tg}\,\varphi, значит

\textstyle\frac{a}{y}=\frac{x}{y\,\operatorname{tg}\,\varphi}

отсюда x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+a^2\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}
\textstyle y=\frac{a}{1+\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}

Используя тождество, получаем

y=a\cos^2\varphi
  • В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:
\textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi}
\textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.


2. Свойства

  • Верзьера — кривая третьего порядка.
  • Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.
  • Кривая имеет один максимум — A(0;a) и две точки перегиба — \textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right )
  • В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A: \textstyle R_A=\frac{a}{2}.
  • Площадь под графиком S = πa2. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему \textstyle\mathbb{R}.
  • Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX) \textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2}.

3. Построение

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра a и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.


Литература

  • Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.:АСТ:Астрель, 2006.


скачать

Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 13.07.11 18:08:12

Похожие рефераты: Луиджи Аньези, Аньези Мария Гаэтана, Аньези Мария Тереза.

Категории: Кривые.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

Рейтинг@Mail.ru